<F+>
<T+1>
<mat. 5 s. cap. 10>
<171>
10. Compondo e decompondo figuras

  J vimos que uma boa forma de estudar Geometria  _observar os 
objetos que esto  nossa volta e explorar esses objetos como se estivssemos 
em um laboratrio, fazendo experincias.
  Ento, vamos fazer de conta que estamos em um _laboratrio _de 
_Geometria.

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Conhea as regras:          _
l    1 Um corte s corta em    _
l  linha reta, no muda de di-    _
l  reo, no faz curvas.         _
l    2 Um corte divide uma fi- _
l  gura em duas partes.           _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Professor fala:
  -- Vai comear a _geometria _dos _recortes.
  -- Voc vai precisar de algumas folhas em branco, lpis, rgua e 
tesoura.

Recortando quadrados

  Histria em quadrinhos:

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.               _
l    Professor fala:             _
l    o O que se pode obter fa-  _
l       zendo apenas um corte     _
l       num quadrado?             _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.     _
l    Aluna 1 fala:    _
l    o 2 retngulos.  _
l    Aluno fala:       _
l    o 2 retngulos.  _
h:::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Observe que os retngulos obtidos com esse corte so iguais.

<172>
<P>
Atividades
  1.  possvel decompor o quadrado, com um nico corte, de modo 
diferentes do que vimos e, ainda assim, obter duas figuras iguais?

  2. Com um s corte em um quadrado obtenha:
  a) 2 retngulos de tamanhos diferentes.
  b) H outras solues? Quantas?

  3. Desenhe um quadrado e corte-o de modo a obter 3 retngulos iguais.

  4. Quantos cortes so necessrios para decompor um quadrado em 4 
retngulos iguais? Como so estes cortes? H outras solues?

  5. Desenhe um quadrado decomposto em 4 quadrados iguais.

<P>
Tringulos recortados de quadrados

  Histria em quadrinhos:

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.               _
l    Aluna 1 pergunta:          _
l    o O que acontece quando,   _
l       usando a tesoura, cor-    _
l       tamos um quadrado pas-    _
l       sando por dois vrtices   _
l       no consecutivos?         _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.                _
l    Aluno fala:                  _
l    o J sei! Vamos decompor   _
l       o quadrado em dois tri-    _
l       ngulos iguais.            _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 3.               _
l    Aluna 1 fala:              _
l    o E para decompor um qua-  _
l       drado em quatro trin-    _
l       gulos iguais?             _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 4.           _
l    Aluno fala:             _
l    o Fiz 2 cortes.       _
l    Aluna 2 fala:          _
l    o E eu fiz 3 cortes.  _
h:::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<173>
Atividades
  6. Decomponha um quadrado em 8 tringulos iguais.
  a) Quantos foram os cortes?
  b) Compare o que voc fez com um colega. O resultado foi o mesmo?

<P>
  7. Decomponha um quadrado em 8 tringulos iguais, de modo 
diferente do que voc fez na atividade anterior. Quantos cortes voc fez?

  8.  possvel com um nico corte em um quadrado obter apenas um 
tringulo e uma outra figura?
  a) Descreva o tringulo obtido.
  b) Descreva a outra figura que no  triangular.

Decompondo retngulos

  Vamos agora decompor retngulos. Pegue a tesoura e uma folha de 
papel sulfite. A folha tem o formato retangular, que  o que nos interessa.

  Professor fala:
  -- O que  possvel obter decompondo um retngulo com um nico 
corte?
  -- Verifique fazendo as atividades a seguir.

Atividades
  9. Com um nico corte decomponha um retngulo de modo a obter 
duas figuras iguais.
  a) Que figura voc obteve?
  b) Compare com o que fizeram seus colegas. O resultado foi o mesmo?

  10. Decomponha um retngulo com apenas um corte perpendicular a 
uma das bases do retngulo.
  a) Que figuras voc obteve?
  b) Compare com o que fizeram seus colegas.
  c) Que concluses voc pode tirar desta atividade?

<174>
  11. Decomponha um retngulo em 2 quadrados iguais.
  a)  sempre possvel?
  b) Qual  a condio que o retngulo deve respeitar para ser possvel?

<P>
  12. Decomponha um retngulo em 4 tringulos iguais. Quantos cortes 
foram necessrios?

  13. Que figuras voc obtm decompondo um retngulo cujo corte 
passa por dois vrtices no consecutivos?

  14. Decomponha um retngulo com apenas um corte que passe no 
centro da figura.

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Recado: O centro do retn-  _
l  gulo  o ponto mdio de         _
l  suas diagonais.                 _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  a) Que figuras voc obteve?
  b) Compare com seus colegas.
  c) Que figuras so obtidas quando o corte no  perpendicular a 
nenhum lado e no coincide com qualquer diagonal?

<P>
Quadrados e retngulos

  Histria em quadrinhos:
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.              _
l    Aluna 1 fala:             _
l    o Estamos estudando os    _
l       quadrados desde as pri-  _
l       meiras sries.           _
h::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.             _
l    Aluna 1 fala:            _
l    o O quadrado tem 4 la-  _
l       dos e 4 vrtices.      _
h:::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 3.               _
l    Professor fala:             _
l    o Isso  correto. Mas o   _
l       retngulo tambm tem 4   _
l       lados e 4 vrtices.      _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 4.    _
l    Aluna 1 pensa:  _
l    o E agora?      _
h::::::::::::::::::::::j
<F+>

<175>
  _Quadrados e _retngulos fazem parte de uma mesma famlia, a dos 
_quadrilteros, que so os polgonos com 4 lados.

<F->
!:::::.
l     _  !::::::::.
l     _  l        _
h:::::j  h::::::::j
<F+>

  _Retngulos so todos os quadrilteros que tm os 4 ngulos de 
mesma medida, os _ngulos _retos.
  O quadrado  um caso particular de retngulo.
  No quadrado os 4 ngulos tambm so retos, mas o que o diferencia do 
retngulo  que todos os seus lados tm a mesma medida..

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Algumas caractersticas im-  _
l  portantes dos quadrados e dos   _
l  retngulos:                     _
l    o lados paralelos dois       _
l  a dois                          _
l    o ngulos internos de        _
l  mesma medida                    _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Essas caractersticas so facilmente observveis quando desenhamos 
quadrados ou retngulos usando as linhas de uma folha de papel quadriculado.

  Aluna 1 fala:
  -- Usando uma folha de papel retangular...
  -- ... fazendo uma dobra conveniente...
  -- ... e cortando o pedao que sobrou...
  -- ... eu obtenho um quadrado.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: explicao para   o
  obter um quadrado de uma     o
  folha de papel retangular.   o
eieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<176>
  Vamos rever agora os cortes usados na decomposio do retngulo.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: retngulo desta-  o
  cando suas diagonais.        o
eieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

  Esses cortes representam os dois segmentos do retngulo chamados 
_diagonais.

Atividades
  15. Quantas diagonais tem o retngulo?

  16. Compare as medidas das diagonais do retngulo.

Voltando ao assunto...

  Professor fala:
  -- De volta  tesoura! Ela vai nos mostrar outras figuras geomtricas 
importantes.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: quadrado decompos-  o
  to em 2 quadrilteros.        o
eieieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Observe, no quadriltero EBCF, que os lados EB e FC so paralelos -- 
caracterstica do quadrado que se manteve.
Quadrilteros como esse, em que apenas dois lados so paralelos, so 
denominados _trapzios.

  Professor fala:
  -- Observe agora este novo corte.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Figura: quadrado decom-  o
  posto em um tringulo e     o
  um trapzio.                o
eieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<177>
  Professor fala:
  -- E mais este outro corte.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Figura: quadrado decom-  o
  posto em um tringulo e     o
  um pentgono.               o
eieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<P>
Os tringulos

  Professor fala:
  -- O que voc sabe sobre os tringulos?
  Aluna 1 fala:
  -- Os tringulos so polgonos de 3 lados, tm 3 vrtices e 3 ngulos 
internos.

  Quando decompomos um retngulo de modo que o corte coincida com 
uma de suas diagonais, ele fica dividido em dois tringulos iguais.

  Professor fala:
  -- Verifique esse fato sobrepondo os dois tringulos recortados.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: retngulo decom-  o
  posto em 2 tringulos.      o
eieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<P>
  Como no caso acima cada tringulo obtido tem um ngulo reto , por 
isso, chamado de _tringulo _retngulo.
  Agora, observe a figura abaixo. O quadrado foi decomposto por um 
corte que coincide com uma das diagonais. Os tringulos obtidos tm dois 
lados de mesma medida que so os lados coincidentes com os lados do 
quadrado.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: quadrado decompos-  o
  to em 2 tringulos por sua    o
  diagonal.                      o
eieieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<178>
  Tringulos com 2 lados de mesma medida so chamados _tringulos 
_issceles.

  Aluna 1 pergunta:
  -- E como so chamados os tringulos com 3 lados iguais?
<P>
  Aluna 2 pergunta:
  -- E tringulos com 3 lados com medidas diferentes, como so 
chamados?
  Professor fala:
  -- Veja:

  Tringulos com 2 lados iguais: tringulos issceles.
  Tringulos com 3 lados iguais: tringulos eqilteros.
  Tringulos com 3 lados diferentes: tringulos escalenos.

Atividades
  
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Dica: Nestas atividades,   _
l  voc vai precisar de papel     _
l  e tesoura.                     _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  17. Decomponha um quadrado em duas partes iguais e, com as partes 
obtidas, componha um tringulo.

  18. decomponha um retngulo em duas partes iguais e com elas 
componha um tringulo.

  19. Decomponha um quadrado em duas partes e com elas componha 
um outro retngulo.

  20. Com dois tringulos retngulos issceles de mesmo tamanho, 
componha:
  a) um quadrado
  b) um tringulo
  c) um quadriltero que no seja um quadrado

<179>
O Tangram

  O Tangram  um jogo chins composto por 7 peas.
  Com ele,  possvel obter centenas de formas.

<P>
<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: desenhos feitos   o
  com o Tangram.              o
eieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Aluna 2 fala:
  -- Na Revista, no final deste captulo, voc fica sabendo mais sobre o 
Tangram.

  Agora voc vai construir o seu Tangram. Use uma folha de papel 
quadriculado e siga o esquema.

  Aluna 1 fala:
  -- Estes so os pontos mdios dos lados.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*
  Figuras.  o
eieieieieieieie
<F+>

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Atividades
  21. Desenhe as peas do Tangram no caderno.
  a) Pinte da mesma cor todos os ngulos iguais.
  b) Quantas cores voc precisou utilizar?

  22. Pinte da mesma cor todos os lados iguais. Quantas cores voc 
precisou usar?

  23. Com apenas 2 peas do Tangram construa:
  a) um quadrado
  b) um tringulo

  24. Com as mesmas peas utilizadas no exerccio anterior, forme um 
quadriltero que no seja um quadrado.

Voltando ao assunto...

  Histria em quadrinhos:

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.               _
l    Professor fala:             _
l    o Peguem 2 tringulos de  _
l       seu Tangram e verifi-    _
l       quem quais figuras geo-   _
l       mtricas vocs podem      _
l       formar.                   _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.           _
l    Aluna 1 fala:          _
l    o Formei um quadrado.  _
h:::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 3.              _
l    Aluno fala:                _
l    o Formei um tringulo.    _
l    Aluna 2 fala:             _
l    o Que figura  esta que   _
l       eu formei?               _
h::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>
 
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 4.                _
l    Professor fala:              _
l    o Esse  um paralelogramo.  _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<181>
  O paralelogramo tem os lados paralelos dois a dois.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Figura: paralelogramo com  o
  ^c?]a]b* que  paralelo a     o
  ^c?]c]d* e ^c?]a]d* que      o
  paralelo a ^c?]b]c*.          o
eieieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

  O retngulo  um caso particular de paralelogramo. Um retngulo tem 
os lados paralelos dois a dois e os quatro ngulos so retos.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: retngulo aonde   o
  ^c?]a]b*  paralelo a        o
  ^c?]c]d* e ^c?]a]d*  para-  o
  lelo a ^c?]b]c*.             o
eieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

  Os ngulos @:A, @:B, @:C e @:D so retos.

Atividades

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Dica: Nestas atividades,   _
l  registre a soluo em papel    _
l  quadriculado.                  _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  25. Forme um quadrado com apenas 3 peas do Tangram.

  26. Com as mesmas peas usadas na atividade anterior, construa um 
tringulo.

  27. Partindo do tringulo do exerccio anterior, mova apenas uma pea 
para formar um retngulo.

  28. Partindo do retngulo do exerccio anterior, forme um 
paralelogramo movendo apenas uma pea.

  29. Com o tringulo mdio e os dois tringulos pequenos, forme um 
quadriltero que no seja nem o retngulo nem o paralelogramo.

<182>
Voltando ao assunto...

  Veja algumas das formas que obtemos quando usamos dois tringulos 
pequenos e o paralelogramo para fazer composies.

<P>
<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figuras: tringulo,   o
  retngulo, trapzio e    o
  paralelogramos.          o
eieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

  Observe que o lado menor dos tringulos pequenos tem a mesma 
medida dos lados menores do paralelogramo, e o lado maior dos tringulos 
pequenos tem a mesma medida dos lados maiores do paralelogramo.

Atividades
  30. Quantos tringulos pequenos so necessrios:
  a) para formar o tringulo mdio?
  b) para formar o tringulo grande?
  c) para formar o quadrado?

  31. Quantos tringulos mdios so necessrios:
  a) para formar o tringulo grande?
  b) para formar o paralelogramo?

  32. Componha, se possvel, as figuras pedidas usando apenas os dois 
tringulos pequenos e o quadrado do Tangram
  a) um quadrado
  b) um retngulo no quadrado
  c) um tringulo
  d) um trapzio
  e) um paralelogramo

<183>
Retomando
  1. Desenhe um quadrado e depois, usando apenas dois cortes, 
decomponha-o em um tringulo issceles e dois tringulos retngulos de 
mesmo tamanho.

  2. Usando as trs partes obtidas na atividade anterior, componha um 
quadriltero que tenha todos os lados com a mesma medida e que no seja um 
quadrado.

<P>
  3. Desenhe um quadrado.
  a) Decomponha-o com um s corte que passe pelo ponto mdio de um 
lado e por um vrtice do quadrado que no pertena a esse lado.
  b) Com as duas partes do quadrado componha um tringulo retngulo.
  c) Qual  a relao entre as medidas dos lados que formam o ngulo 
reto do tringulo obtido no item _b?

  4. Monte um quadrado usando o paralelogramo, o quadrado, o 
tringulo mdio e os dois tringulos pequenos do Tangram. Compare o seu 
resultado com o dos colegas.

<P>
  5. As figuras mostram como decompor um hexgono regular em 8, 9, 
18 e 36 partes iguais no superpostas.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Figuras: hexgonos decom-  o
  postos em 8, 9, 18 e 36   o
  partes.                       o
eieieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

  Desenhe hexgonos regulares e decomponha-os em 2, 3, 4, 6, 12 e 24 
partes iguais no superpostas.

<184>
Revistinha

O Tangram

  Tangram  um jogo chins, formado por 7 peas.
<P>
  No se sabe exatamente qual a origem do Tangram.  certo que ele  
originrio da China. Supe-se que a parte inicial do nome do jogo, _tan, esteja 
relacionada  dinastia Tang, que governou a China por um longo perodo. A 
parte final do nome, _gram, vem do latim e significa ordenar, dispor.
  Conta uma lenda que um mensageiro deveria levar ao imperador uma 
pedra de jade, de formato quadrado. No caminho, por distrao, deixou a 
pedra cair, partindo-se em sete pedaos. Preocupado, o mensageiro juntou as 
sete peas, a fim de remontar o quadrado. Enquanto tentava resolver o 
problema, acabou criando centenas de formas at conseguir montar o 
quadrado.

  Construa seu Tangram, seguindo as instrues:
  Com uma folha de papel quadriculado e com uma rgua, desenhe 
seguindo as instrues:
  o Desenhe um quadrado ABCD
  o AB_lCD e AC_lBD
  o G  o ponto mdio de AB; E  o ponto mdio de AC
  o Trace os segmentos EG e BC
  o F  o ponto mdio de EG, O  o ponto mdio de BC, H  o ponto 
mdio de OB, I  o ponto mdio de OC
  o Trace os segmentos FI, GH, FD
  Verifique as seguintes igualdades entre as medidas dos segmentos:
  AG=GB=AE=EC=FI
  EF=FG=GH=FO=OH=HB=OI=
 =CI
  OD=OB=OC=EG
  CD=BD
  Agora, forme uma dupla e tente montar, com o Tangram, a figura que 
vocs mais gostam.

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<P>
  Decomponha a figura ABCDEF em partes iguais (mesmo tamanho e 
mesmo formato):
  a) em duas partes
  b) em trs partes
  c) em quatro partes

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Desenhe a cruz no papel quadriculado, recorte as quatro peas de 
acordo com a linha pontilhada e forme um quadrado.
  o M  ponto mdio de AB.
  o N  ponto mdio de FE.

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Decomponha um quadrado, por meio de cortes, de modo a obter 4 
tringulos iguais e 1 quadrado.
<P>
  Idia: Desenhe o quadrado sobre uma rede quadriculada.
  Desenhe o quadrado menor de modo que os seus vrtices estejam 
sobre os lados do quadrado maior. Assim os tringulos aparecem 
naturalmente.
  Decomponha um quadrado do mesmo tamanho que o do exerccio 
anterior, de modo a obter 4 tringulos iguais e 2 quadrados de tamanhos 
diferentes.

::::::::::o::::::::::